Kanıtlara Giriş

The source-page: http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.introduction.html

Larry W. Cusick

İspatlar matematiğin kalbidir. Eğer bir matematik dalındaysanız, kanıtlarla başa çıkmak zorundasınız – bunları okuyabilmeli, anlayabilmeli ve yazabilmelisiniz. Sır nedir? Bilmeniz gereken sihir nedir? Kısa cevap: sır yok, gizem yok, sihir yok. Gereken tek şey bir sağduyulu ve birkaç güvenilir ve anlaşılması kolay teknikleri temel bir anlayıştır.

Bir Kanıtın Yapısı

Bir kanıtın temel yapısı kolaydır: sadece her biri ya da

  • Bir varsayım veya
  • Bir varsayımdan veya daha önce kanıtlanmış bir sonuçtan net bir şekilde sonra çıkan bir sonuç.

Ve hepsi bu. Bazen açıklayıcı bir açıklama olacaktır, ancak bu sadece okuyucu içindir ve ispatın yapısı üzerinde mantıklı bir etkisi yoktur.

İyi yazılmış bir kanıt akacak. Yani, okuyucu ilgisiz detaylarla ilgili herhangi bir dikkat dağıtmadan doğrudan ve kaçınılmaz bir şekilde istenen sonuca götüren bir yolculuğa çıkmış gibi hissediyor olmalıdır. Her adım açık veya en azından açık bir şekilde gerekçelendirilmelidir. İyi bir kanıt takip etmek kolaydır.

Bir kanıtla işiniz bittiğinde, yukarıdaki basit testi her cümleye uygulayın: (a) bir varsayım mı yoksa (b) gerekçeli bir sonuç mu? Cümle testi geçemezse, belki de ispata ait değildir.

Örnek: 2 Kökünün Mantıksızlığı

Provaları yazmak için provaları okuyabilmelisiniz. Aşağıdaki kanıtı takip edip edemediğinizi görün. Kanıt fikrini nasıl elde edeceğinizi (ya da istemeyeceğinizi) dert etmeyin. Yukarıda belirtilen kriterlere dikkat ederek kanıtı okuyunuz. Her cümle açıkça bir varsayım mı yoksa bir sonuç mu? Kanıt akıyor mu? Teorem aslında kanıtlandı mı?

Kanıtımız başlamadan önce, aşağıdaki bir kaç tanımlarını hatırlayalım. Bir reel sayı olarak adlandırılır rasyonel p/q: iki tamsayı oranı olarak ifade edilebilir, eğer. Eski Yunanlılar bütün sayılar rasyonel olduğunu düşündüm. Rasyonel olmayan bir sayı aranmak mantıksız. Muhtemelen inanıyoruz π mantıksız. (Bu kanıtlamak için kolay olmadığını sizi şaşırtabilir.) Yunanlılar 2’nin karekökü, aritmetik temelleri, sorgulanmaya edildi rasyonel sayı olmadığını kanıtladı. Bu Yunan geometrisi daha sonra-gelişti tüm sayılar rasyonalitesine referans olmadan geometrik olarak tedavi edilebilir nedenlerinden biridir.

Biz ihtiyaç duyacağı diğer bir gerçektir Aritmetiğin Temel Teoremi. Bu heyecan verici sondaj teoremi her pozitif tamsayı asal sayıların bir ürünü olarak eşsiz bir temsilini sahip olmasından başka bir şey değildir. Kullanacağımız ispat tekniği ile kanıtıdır çelişki. Bunun ne anlama geldiğini anlamak için herhangi özel bir bilgi gerekmez. O çok basit. Biz 2 karekökü varsayar olan bir rasyonel sayı ve bir çelişki varmak o zaman. Eğer ispat her satırını anladığından emin olun.

Teorem. 2’nin karekökü irrasyonel bir sayıdır.

Kanıt. 2 nin karekökünü s ile temsil edelim. O zaman, tanım gereği, s denklemi yerine getirir.

s2 = 2.
Eğer mantıklı bir sayı olsaydı, o zaman yazabilirdik

s = p/q

p ve q, bir tamsayı çiftidir. Buna ek olarak, eğer gerekliyse, ortak katın bölerek p ve q’nın ortak katın olmadığını (1 dışında) bile varsayabiliriz. Şimdi bunu, elde ettiğimiz ilk denklemin yerine koyarsak, küçük bir cebirden sonra, denklem

p2 = 2 q2.

Fakat şimdi, aritmetik temel teoremi ile, 2 numara asal çarpanlara görünmelidir p2 (aynı sayı 2 q2, görünür yana). 2 kendisi asal sayı olduğundan, 2 daha sonra sayı p asal çarpanlara görünmelidir. Ama sonra, 22 asal çarpanlara ayrılması p2, ve dolayısıyla 2 q2. Bir 2 bölerek, o zaman 2 ana faktörleşmesinde olduğu anlaşılıyor q2. Daha önce gibi (ile p2) Şimdi 2’nin q’nun ana faktörü olduğunu söyleyebiliriz. Ama şimdi p ve q, yani asal bir faktörü paylaşıyoruz 2. Bu, yukarıdaki varsayımımıza aykırı (bkz. Bulabiliyor musunuz), p ve q’nun 1’den başka hiçbir ortak katı olmadığı.