Bir Parça π

The source-page: http://www.efgh.com/math/pi.htm

LOGO

Philip J. Erdelsky

26 Temmuz 2001

Matematik birçok ilginç aşkın sabit içerir, ancak bunlardan sadece biri eskiler tarafından biliniyordu. Bu ise π, bir dairenin çapına çevresi oranına sahiptir.

Arşimet, π için yaklaşık bir değer hesaplayan ilk matematikçiydi. Önceki değerler, sınırlı doğrulukta fiziksel ölçümlere dayanıyordu.

Sadece Arşimet tarafından bilinen matematiği kullanarak yaklaşık bir π değeri hesaplamak için Arşimet yöntemini kullanacağız. Ancak hesaplamalarımızı bir bilgisayarda yapacağız ve onun yaptığından çok daha doğru bir değer elde edeceğiz.

Eskilerin çok iyi bir limit teorisi yoktu; matematikçi olmayanların çoğu da öyle. Ama bazı şeyler oldukça açık. Birçok kenarı olan düzgün bir çokgen yaklaşık olarak bir dairedir. Çevresi yaklaşık olarak dairenin çevresidir ve alanı yaklaşık olarak dairenin alanıdır. Çokgenin ne kadar çok kenarı varsa, yaklaşım o kadar doğru olur. Çokgenin yeterli kenarı varsa, istenen herhangi bir doğruluk derecesi elde edilebilir.

Figure 1

π için yaklaşık bir değer bulmak için yarıçapı 1 olan bir daireye düzgün çokgenler yazacağız. Bazı durumlarda çokgenlerin çevreleri, Arşimet tarafından bilinen Pisagor teoreminden daha gelişmiş bir şey kullanılarak hesaplanabilir. Özellikle, n kenarlı düzgün çokgenin her bir kenarının uzunluğunu biliyorsak, 2n kenarlı düzgün çokgenin her bir kenarının uzunluğunu hesaplayabiliriz.

Şekil 2’de, izin AB biri N kısımda yer alan bir daire içinde yer muntazam bir çokgenin kenarlarına göre O, uzun ve bir yarıçap, bir birim. AB‘nin uzunluğu s olsun.

Figure 2

AOB açısının açıortayı OCD olsun. O halde AOC ve BOC üçgenleri uyumludur; dolayısıyla C‘deki açılar dik açılardır ve AC = CB. Öyleyse,

  • h = s/2
  • z = √(1-h2)

Çokgenin çevresi ns ve dairenin çapı 2. Bu nedenle yaklaşık değeri π olan ns/2.

AD ve BD doğru parçaları, kenarları 2n olan yazılı bir çokgenin kenarlarıdır. Her birinin uzunluğu

  • √(h2 + (1-z)2))

n = 6 olduğu durumdas = 1 olduğunu biliyoruzBu bilinen bir gerçektir, ancak kısa bir kanıt vereceğiz. Altıgen düzgün olduğundan, merkezdeki altı açı da eşittir. ACB açısı bir daire içinde çizilir, bu nedenle, altı açıdan ikisine eşit olan, kesişen AOB açısının yarısıdır. Dolayısıyla ACB açısı BOC açısına eşittir. OB ve BC karşılıklı kenarları da eşittir. Benzer argümanlar, diğer her kenarın dairenin yarıçapı kadar uzun olduğunu gösterir.

Figure 3

Tek yapmamız gereken, n = 12, 24, 48, 96, vb. için değerleri elde etmek için bu formülü tekrar tekrar uygulamaktır.

Aşağıdaki C++ programı gibi basit bir bilgisayar programı bu hesaplamaları hızlı bir şekilde yapacaktır.

     #include <stdio.h>
     #include <math.h>

     void main(void)
     {
       double s = 1.0;
       double n = 6.0;
       puts("number of sides    approximate value of pi");
       while (n < 500000000.0)
       {
         printf ("%9.0f          %18.16f\n", n, n*s/2.0);
         double h = s / 2.0;
         double z = sqrt(1.0 - h * h);
         s = sqrt(h * h + (1.0 - z) * (1.0 - z));
         n *= 2;
       }
     }

Sonuçlar şöyle görünür:

     number of sides    approximate value of pi
             6          3.0000000000000000
            12          3.1058285412302489
            24          3.1326286132812378
            48          3.1393502030468667
            96          3.1410319508905098
           192          3.1414524722854624
           384          3.1415576079118579
           768          3.1415838921483186
          1536          3.1415904632280505
          3072          3.1415921059992717
          6144          3.1415925166921577
         12288          3.1415926193653840
         24576          3.1415926450336911
         49152          3.1415926514507682
         98304          3.1415926530550373
        196608          3.1415926534561045
        393216          3.1415926535563719
        786432          3.1415926535814380
       1572864          3.1415926535877046
       3145728          3.1415926535892713
       6291456          3.1415926535896630
      12582912          3.1415926535897611
      25165824          3.1415926535897856
      50331648          3.1415926535897913
     100663296          3.1415926535897931
     201326592          3.1415926535897931
     402653184          3.1415926535897931

Hesaplamak için bir abaküsten daha iyi bir şeyi olmayan Arşimet, 96 kenarda durmak zorunda kaldı.